fx-570EX solve로 방정식 풀기

공학용 계산기를 쓸 때는 방정식을 푸는 경우가 많습니다. 그런데 이렇게 푸는 방정식 중 이차방정식이나 삼차방정식 같은 간단한 형태의 방정식이 많을까요? 아마도 복잡한 형태의 방정식이 많을 것입니다. 이런 복잡한 상황을 위해서 공학용 계산기에는 solve 기능이 있습니다.

미지수를 구할 값을 변수로 놓고 식을 세운 뒤 키만 몇 번 누르면 해가 금방 튀어나옵니다. 듣기만 해도 편리해 보이는 기능인 solve 기능을 fx-570EX(이하 570EX)로 사용하는 방법을 알아봅시다.

목차

방정식의 해 찾기

방정식의 해를 찾기 위해서는 방정식부터 입력해야 합니다. 예시로 $2x+3=5$라는 간단한 방정식을 풀어 봅시다. solve 기능은 Calculate 메뉴에서만 사용할 수 있습니다. Calculate 메뉴에 있지 않다면 MENU 1 을 눌러 Calculate 메뉴로 진입해야 합니다.

그 후, 방정식을 차례차례 입력합니다. 등호 기호 =는 계산기 맨 오른쪽 아래에 있는 =가 아닌 ALPHA CALC 로 입력해야 한다는 것을 유의해 주세요.

2 x + 3 ALPHA CALC 5

이제 SHIFT CALC 를 눌러 solve 기능을 실행시킬 수 있습니다. 그러면 아래와 같은 화면이 뜹니다. 0이 아닌 수가 뜰 수도 있지만 기본값은 0입니다. 카시오 계산기 FAQ 글에서도 설명했듯이 x=0이 뜬 화면은 방정식의 해가 구해진 화면이 아닙니다. 이 값은 초기 추정값입니다. 계산기는 0부터 시작해 이 방정식의 해를 찾아갈 것입니다. 초기 추정값을 원하는 대로 바꿀 수도 있지만 지금은 기본값인 0을 이용해 보겠습니다.

위 화면에서 = 을 눌러 주면 해가 계산됩니다. 찾아진 해는 x=1입니다. 아래쪽에 있는 L-R 값은 방정식에 해를 대입하고 (좌변)-(우변)을 계산한 결과입니다. $2×1+3−5=0$이니 L-R 값이 0이 나옵니다. 0에 가까울수록 계산기가 더 정확한 해를 찾은 것입니다. 간단한 식은 보통 L-R 값이 0으로 나옵니다.

초기값의 중요성 (이차방정식, 삼차방정식 풀이)

fx-570EX는 방정식의 해를 찾기 위해 뉴턴의 방식(Newton's method)을 사용합니다. 이 방식은 초기 추정값에 가까운 해를 찾아가게 됩니다. 아래 GIF는 뉴턴의 방식으로 해를 찾는 방법을 시각적으로 보여줍니다.

출처: 위키피디아

초기 추정값 $x_1$이 매우 중요합니다. 해가 두 개인 이차방정식을 풀 때는 두 해가 한 번에 출력되지 않으므로 초기값을 변경할 필요가 있습니다. 보통 매우 큰 값을 초기값으로 지정하면 계산기는 오른쪽에서 왼쪽으로 해를 찾아나가므로 두 해 중 큰 해가 나옵니다. 매우 작은 값을 초기값으로 지정하면 두 해 중 작은 해가 나오는 경우가 많습니다. 이것을 잘 이해하기 위해
$x^2−3x−40=0$ 의 해를 찾아 보겠습니다. 등호 기호를 사용하지 않고 식을 입력한다면 식의 우변에 =0이 있다고 가정합니다.

x x² - 3 x - 4 0 SHIFT CALC

x에 이전 solve 결괏값인 1이 저장되어 있었습니다. 그러므로 x=0 대신 x=1이 표시됩니다.

= 을 눌러 해를 계산하면 x=-5가 출력됩니다. $(x+5)(x−8)=0$이므로 x=-5는 이 방정식의 한 해입니다.

하지만 우리는 다른 해인 x=8도 있다는 것을 알고 있습니다. 이 해를 찾으려면 어떻게 해야 할까요? 큰 값을 초기값으로 지정해서 다른 해를 찾아 봅시다. 1000을 초기값으로 지정했습니다.

(이어서…) SHIFT CALC 1 0 0 0 = =

다른 해인 x=8이 나왔습니다. 삼차방정식도 비슷한 방법으로 접근할 수 있습니다. 실근이 세 개인 삼차방정식을 하나 가져왔습니다.

출처: 네이버 지식iN

$y_2$를 $x$로 치환하면 위 방정식은 $x^3−2.35x^2+0.32=0$이 됩니다. 계산기에 입력해 봅시다.

x SHIFT x² - 2 . 3 5 x² + . 3 2 SHIFT CALC

0을 초기 추정값으로 잡고 방정식을 풀어 봅시다. 0 = = 을 누릅니다. 빈 화면이 뜨다가 아래와 같이 Continue:[=]가 표시됩니다. 계산기가 근을 찾기 위해 특정 횟수 이상 반복을 하면 나타나는 메시지입니다.

추가 계산을 위해 화면에 나온 대로 = 을 다시 누릅니다. 그러면 세 해 중 한 해인 2.29가 나옵니다.

한 해가 나왔지만 우리는 이 방정식에 세 개의 해가 있다는 것을 알고 있습니다. 초기값을 변경해 다른 해를 찾아봅시다. 작은 초기 추정값을 지정해 봅시다. -1000을 초기 추정값으로 지정합니다. 음수를 입력할 때에는 - 대신에 (-) 를 이용해야 합니다.

(이어서…) SHIFT CALC (-) 1 0 0 0 = =

다른 해인 -0.345가 나옵니다. 마지막 해를 구하기 위해서는 어떤 초기값을 입력해야 할까요? 우리는 어떤 초기값을 입력했을 때 어떤 해가 나올지 미리 알 수 없습니다. 초기값을 1로 지정해 봅시다.

(이어서…) SHIFT CALC 1 = =

마지막 해인 0.405를 얻었습니다. 때때로, solve를 사용할 때 원하는 근을 얻기 위해 많은 초기 추정값을 시도해야 할 수 있습니다.

$y=x^3−2.35x^2+0.32=0$의 개형, 3개의 실수해가 존재합니다.

여러 변수에 대한 방정식 풀기

이 계산기는 $x$에 대한 방정식만 풀 수 있는 것은 아닙니다. 변수로 사용할 수 있는 문자는 A부터 F, x, y까지 총 8가지가 있습니다. 여러 변수에 대한 방정식을 풀면서 solve 기능을 더 깊게 사용해 봅시다.

계산기로 BMI 지수를 계산해 봅시다. BMI 지수란 키와 몸무게로 측정하는 대략적인 체질량 지수입니다. 몸무게를 키의 제곱으로 나누면 BMI 지수가 됩니다. BMI 지수의 기준은 다음과 같습니다.

• 저체중: BMI 18.5 미만
• 정상: BMI 18.5~22.9
• 비만전단계(과체중 또는 위험체중): BMI 23~24.9
• 1단계 비만: 25~29.9
• 2단계 비만: 30~34.9
• 3단계 비만(고도 비만): 35 이상

BMI 지수를 A, 키를 B, 몸무게를 C로 놓으면 식을 작성할 수 있습니다. 계산기에 입력해 봅시다.

$$A=\frac{C}{B^2}$$

ALPHA (-) ALPHA CALC ALPHA x^-1 믐 ALPHA ° ' " x²

SHIFT CALC 를 누르면 방정식을 풀 수 있는 화면으로 들어옵니다. ▲, ▼ 키를 활용해 어떤 변수에 대해 방정식을 풀 것인지 정할 수 있습니다. 나머지 변수는 모두 상수로 취급됩니다. 키와 몸무게를 입력하고 BMI 지수를 구해 봅시다.

키를 175cm(1.75m), 몸무게를 58kg라 합시다. 키는 m 단위를 사용하는 걸 잊지 마세요.

(이어서...) SHIFT CALC ▼ 5 8 = 1 . 7 5 = ▲ ▲ =

결과로 18.939가 나왔습니다. 따라서 이 사람은 정상 체중입니다.

solve로 해가 잘 나오지 않는 경우 (삼각함수 방정식 풀이)

solve가 만능은 아닙니다. TI-Nspire 등의 상위 계산기의 solve 기능은 한 번에 여러 개의 해를 찾을 수 있습니다. 해가 여러 개인 주기함수나, 기울기가 너무 큰 함수 등은 해를 찾지 못할 수 없습니다. 해를 찾지 못하면 Can't solve가 화면에 표시됩니다. 삼각함수 방정식을 풀 때는 역삼각함수를 이용하는 것이 좋을 수 있습니다. $\cos(x)=0.5$가 되는 x 값을 찾아봅시다. 계산기를 Degree 모드로 설정한 후 시작합시다.

SHIFT MENU 2 1

액정 맨 위에 D 인디케이터가 있는 것을 확인해야 합니다. 방정식을 입력합니다. 초기값은 기본값인 0으로 지정합니다.

cos x ) ALPHA CALC . 5 SHIFT CALC 0 =

= 을 눌러 방정식을 풉시다. 10000020이라는 괴상한 해가 나왔습니다.

$\cos(10000020°)=0.5$는 맞으나 우리가 원하는 답 60은 아닙니다. 초기 추정값을 변경해 제대로 된 해를 구할 수도 있지만 이 경우에는 역삼각함수를 이용하는 것이 가장 빠르고 간편합니다. 식을 입력합시다. 닫는 괄호는 생략해도 문제 없습니다

SHIFT cos . 5 =

원하는 값 60이 바로 나왔습니다. 이처럼 삼각함수 방정식은 복잡하지 않으면 역삼각함수를 이용해 푸는 것을 강력히 권장합니다.

주의사항

solve를 실행하고 나서 AC를 누르면 작성한 방정식은 사라집니다. ▲ 를 눌러 히스토리를 찾아봐도 나오지 않습니다. 다른 초기 추정값을 시도해 보고자 한다면 해가 나온 화면에서 SHIFT CALC 을 눌러야 합니다. 또한 solve와 함께 사용할 수 없는 함수가 있습니다. 목록은 아래와 같습니다.

fx-570EX에는 Equation/Func 메뉴가 있습니다. 그곳에서 연립방정식과 2~4차 방정식을 풀 수 있습니다. 식을 깔끔하게 정리할 수 있다면 Equation/Func 메뉴를 사용하는 것을 추천합니다. 방정식을 입력하기 편하고, 해가 여러 개여도 한 번에 보여줍니다. 복소수 해까지 계산할 수 있습니다.