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공학용 계산기 특이한 정적분 잘 계산하기

공학용 계산기 특이한 정적분 잘 계산하기

CAS가 없는 계산기는 정적분을 근삿값으로밖에 계산할 수 없습니다. 그러기에 일부 정적분 계산에서 크고 작은 오차가 발생할 수 있고, 이 글에서는 그 중 여러 가지 상황에 대한 대처법을 소개합니다.

여기서 계산기에 정적분을 입력하는 방법에 대해서는 다루지 않습니다. 그 내용은 제 다른 글인 fx-570EX, fx-570ES PLUS로 적분, 미분 계산하기 글을 참고하시길 바랍니다. 이 글에서는 정적분을 계산하는 계산기로 fx-570ES PLUS 2를 이용합니다.

목차

정적분의 구간 중에 무한대가 있는 경우

정적분의 위끝이나 아래끝, 또는 그 모두에 무한대가 있는 경우 정적분을 어떻게 계산하는지 알아봅시다.

보통의 공학용 계산기에서는 무한대($\infty$)를 입력할 수 없습니다. CAS가 지원되는 계산기에서는 대부분 입력할 수 있습니다.

간단한 예제를 통해서 알아봅시다. 아래 정적분을 계산해 봅시다.

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$$

공학용 계산기에 무한대를 입력할 수 없을 때에는 $\infty$를 적당히 큰 수로 대체하여 적분의 근삿값을 얻을 수 있습니다. 0부터 $\infty$ 대신 0부터 1,000,000까지 적분해 봅시다. 적분의 상한이 커질수록 적분 계산 시간이 오래 걸린다는 것은 유의하세요.

결과는 1.570795327입니다. 이 정적분의 정확한 값인 $\pi / 2 \sim 1.570796327$과 얼마 차이는 나지 않습니다.

정적분의 구간에서 함숫값이 발산하는 경우

$$\int_2^5 \frac{dx}{\sqrt{x-2}}$$

이 함수는 x=2에서 정의되지 않습니다. 그래서 이 식을 그대로 입력하면 대부분 공학용 계산기에서는 Math ERROR 오류를 냅니다. 이럴 때는 적분 구간을 2는 아니지만 2에 가깝게 입력하면 됩니다

하한 2를 2.1, 2.01, 2.001 같이 2에 다가가게 합니다. 아래 예시에서는 하한으로 2.0000001을 사용합니다.

결과는 3.46346916입니다. 이 정적분의 정확한 값은 $2\sqrt{3}$이고 근사치는 3.464101615입니다. 아래 표는 각 하한에 따른 적분값을 보여 줍니다.

하한 적분값
2.1 2.831646083
2.001 3.400856062
2.00001 3.45777706
2.0000001 3.46346916
2.000000001 3.46403837
2.00000000001 3.464095293

정확한 값은 위에서도 언급했듯이 3.464101615입니다. 이 유형의 정적분은 정확한 값을 얻기 힘들다는 것을 알 수 있습니다.

주의사항

이 방법은 단지 정적분을 근사하는 것이며, 이런 방법으로 얻어진 적분값이 항상 정확하다는 보장은 할 수 없습니다. 주의하시길 바랍니다.

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BINUBALL 작성

fx-570EX, fx-570ES PLUS 등의 계산기 관련 글들을 주로 올립니다. 블로그스팟으로 블로그를 운영하고 있습니다.

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